Можно ли сесть в поезд на следующей, после станции отправления, станции?

Да, конечно - этот момент четко прописан в "Правилах перевозок пассажиров, багажа и грузобагажа железнодорожным транспортом". Согласно правил, посадка пассажира производится как на станции, указанной в проездном документе, так и на любой последующей станции по ходу следования поезда, на который были приобретены жд билеты. Допустим вы приобрели на сайте Probilet.kz, билеты на поезд Астана Шымкент, в которых в качестве станции отправления указана станция "Астана 1". В этом случае вы можете сесть в поезд либо на станции "Астана 1", либо, например, на станции "Караганды", если поезд на который вы приобрели жд билеты, останавливается на этой станции.

При посадке на пассажирский поезд, сформированный из вагонов фирмы "Talgo", обязательно помните, что посадка в подобные поезда, прекращается после автоматического закрытия дверей в вагонах, за 5 минут до отправления поезда! Поэтому путешествуя в подобных поездах, старайтесь прибывать на станцию отправления немного заранее, чтобы не опоздать на посадку в вагон!